Основы мат. анализа Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{5 x^{2} - 8 x - 13}{x^{2} - 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 5 x^{2} - 8 x - 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 5 x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x - lim_{x \to 3} 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 8 x - lim_{x \to 3} 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 8 x - lim_{x \to 3} 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}$

Этап 6

Найдем предел $13$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 13}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 5}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 13}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 5}$

Этап 9

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 13}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 3^{2} - 8 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 13}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 1 \cdot 13}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 1 \cdot 13}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 1 \cdot 13}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.2

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{45 - 8 \cdot 3 - 1 \cdot 13}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{45 - 24 - 1 \cdot 13}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.4

Умножим $- 1$ на $13$ .

$\frac{45 - 24 - 13}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.5

Вычтем $24$ из $45$ .

$\frac{21 - 13}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11.1.6

Вычтем $13$ из $21$ .

$\frac{8}{3^{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{8}{9 - 1 \cdot 5}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{8}{9 - 5}$

Этап 11.2.3

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{8}{4}$

Этап 11.3

Разделим $8$ на $4$ .

$2$