Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + x^{3} - 24}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 24}{x^{2} - 4}$

Этап 2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 24}{x^{2} - 4}$

Этап 3

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 24}{x^{2} - 4}$

Этап 4

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 24}{x^{2} - 4}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{4} + {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 24}{x^{2} - 4}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{4} + 2^{3} - 1 \cdot 24}{x^{2} - 4}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{16 + 2^{3} - 1 \cdot 24}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{16 + 8 - 1 \cdot 24}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $24$ .

$\frac{16 + 8 - 24}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.4

Добавим $16$ и $8$ .

$\frac{24 - 24}{x^{2} - 4}$

Этап 6.1.5

Вычтем $24$ из $24$ .

$\frac{0}{x^{2} - 4}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 6.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $(x + 2) (x - 2)$ .

$0$