Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - 5 x^{3} - 2 x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 2

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 3

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 7

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{4} - 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} - 2 lim_{x \to 8} x + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{6 \cdot 4096 - 5 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.2

Умножим $6$ на $4096$ .

$\frac{24576 - 5 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{24576 - 5 \cdot 512 - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.4

Умножим $- 5$ на $512$ .

$\frac{24576 - 2560 - 2 \cdot 8 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.5

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{24576 - 2560 - 16 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.6

Вычтем $2560$ из $24576$ .

$\frac{22016 - 16 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.7

Вычтем $16$ из $22016$ .

$\frac{22000 + 1}{3 x^{4} - 2 x - 7}$

Этап 9.8

Добавим $22000$ и $1$ .

$\frac{22001}{3 x^{4} - 2 x - 7}$