Основы мат. анализа Примеры

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 x^{2} + lim_{x \to - 5} 21 x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 5} x^{2} + lim_{x \to - 5} 21 x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + lim_{x \to - 5} 21 x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 4

Вынесем член $21$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 21 lim_{x \to - 5} x + lim_{x \to - 5} 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 5$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to - 5} x)}^{2} + 21 lim_{x \to - 5} x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 {(- 5)}^{2} + 21 lim_{x \to - 5} x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 5$ для $x$ .

$\frac{4 {(- 5)}^{2} + 21 \cdot - 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{4 \cdot 25 + 21 \cdot - 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 7.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$\frac{100 + 21 \cdot - 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 7.1.3

Умножим $21$ на $- 5$ .

$\frac{100 - 105 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 7.1.4

Вычтем $105$ из $100$ .

$\frac{- 5 + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 7.1.5

Добавим $- 5$ и $5$ .

$\frac{0}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

Этап 7.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 10 = 30$ , а сумма — $b = 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $17$ из $17 x$ .

$\frac{0}{3 x^{2} + 17 (x) + 10}$

Этап 7.2.1.2

Запишем $17$ как $2$ плюс $15$

$\frac{0}{3 x^{2} + (2 + 15) x + 10}$

Этап 7.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{3 x^{2} + 2 x + 15 x + 10}$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{0}{(3 x^{2} + 2 x) + 15 x + 10}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{0}{x (3 x + 2) + 5 (3 x + 2)}$

Этап 7.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$\frac{0}{(3 x + 2) (x + 5)}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $(3 x + 2) (x + 5)$ .

$0$