Основы мат. анализа Примеры

$A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a d - c b$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{a d - c b} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{a d - c b}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{a d - c b} d & \frac{1}{a d - c b} (- b) \\ \frac{1}{a d - c b} (- c) & \frac{1}{a d - c b} a \end{array}]$

Этап 6

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{a d - c b}$ и $d$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - c b} & \frac{1}{a d - c b} (- b) \\ \frac{1}{a d - c b} (- c) & \frac{1}{a d - c b} a \end{array}]$

Этап 6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - c b} & - \frac{1}{a d - c b} b \\ \frac{1}{a d - c b} (- c) & \frac{1}{a d - c b} a \end{array}]$

Этап 6.3

Объединим $b$ и $\frac{1}{a d - c b}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - c b} & - \frac{b}{a d - c b} \\ \frac{1}{a d - c b} (- c) & \frac{1}{a d - c b} a \end{array}]$

Этап 6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - c b} & - \frac{b}{a d - c b} \\ - \frac{1}{a d - c b} c & \frac{1}{a d - c b} a \end{array}]$

Этап 6.5

Объединим $c$ и $\frac{1}{a d - c b}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - c b} & - \frac{b}{a d - c b} \\ - \frac{c}{a d - c b} & \frac{1}{a d - c b} a \end{array}]$

Этап 6.6

Объединим $\frac{1}{a d - c b}$ и $a$ .

$[\begin{array}{c} \frac{d}{a d - c b} & - \frac{b}{a d - c b} \\ - \frac{c}{a d - c b} & \frac{a}{a d - c b} \end{array}]$