Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{1 + x}$ , $(f + g) (x)$

Этап 1

Заменим обозначения функций в $f + g$ фактическими функциями.

$\sqrt{36 - x^{2}} + \sqrt{1 + x}$

Этап 2

Найдем значение $f + g$ в точке $x$ .

$\sqrt{36 - {(x)}^{2}} + \sqrt{1 + x}$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$\sqrt{36 - {(x)}^{2}} + \sqrt{1 + x}$

Этап 4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{36 - {(x)}^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$36 - {(x)}^{2} \geq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $36$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 36$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 36$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 36$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 36}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $- 36$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 36$

Этап 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{36}$

Этап 5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{36}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $\sqrt{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{6^{2}}$

Этап 5.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 6 |$

Этап 5.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $6$ равно $6$ .

$| x | \leq 6$

Этап 5.5

Запишем $| x | \leq 6$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 5.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 6$

Этап 5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 5.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 6$

Этап 5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 6 & x \geq 0 \\ - x \leq 6 & x < 0 \end{cases}$

Этап 5.6

Найдем пересечение $x \leq 6$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 6$

Этап 5.7

Решим $- x \leq 6$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 6$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{6}{- 1}$

Этап 5.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{6}{- 1}$

Этап 5.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{6}{- 1}$

Этап 5.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.3.1

Разделим $6$ на $- 1$ .

$x \geq - 6$

Этап 5.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 6$ и $x < 0$ .

$- 6 \leq x < 0$

Этап 5.8

Найдем объединение решений.

$- 6 \leq x \leq 6$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 + x \geq 0$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 1$

Этап 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 1, 6]$

Обозначение построения множества:

${x | - 1 \leq x \leq 6}$

Этап 9