Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{4 - x}$ , $g (x) = x^{2}$ , $(f \circ g)$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (g (x))$

Этап 2

Найдем значение $f (x^{2})$ , подставив значение $g$ в $f$ .

$f (x^{2}) = \sqrt{4 - (x^{2})}$

Этап 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 - (x^{2})}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 - (x^{2}) \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 4$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 4$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Этап 4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Этап 4.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $\sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 |$

Этап 4.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2$

Этап 4.5

Запишем $| x | \leq 2$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 4.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2$

Этап 4.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 4.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2$

Этап 4.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Этап 4.6

Найдем пересечение $x \leq 2$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Этап 4.7

Решим $- x \leq 2$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Этап 4.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.3.1

Разделим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2$

Этап 4.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 2$ и $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Этап 4.8

Найдем объединение решений.

$- 2 \leq x \leq 2$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Этап 6