Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{2} - x - 4$ , $g (x) = 2 x - 6$ , $\frac{f (x - h) - f (x)}{h}$

Этап 1

Вычислим числитель в $\frac{f (x - h) - f (x)}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x - h$ .

$f (x - h) = {(x - h)}^{2} - (x - h) - 4$

Этап 1.2

Заменим обозначения функций в $f (x - h) - f (x)$ фактическими функциями.

$({(x - h)}^{2} - (x - h) - 4) - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3

Упростим $({(x - h)}^{2} - (x - h) - 4) - (x^{2} - x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем ${(x - h)}^{2}$ в виде $(x - h) (x - h)$ .

$(x - h) (x - h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.2

Развернем $(x - h) (x - h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - h) - h (x - h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x (- h) - h (x - h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x (- h) - h x - h (- h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - x h - h x - h (- h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.1.4

Умножим $h$ на $h$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1.4.1

Перенесем $h$ .

$x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h) - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.1.4.2

Умножим $h$ на $h$ .

$x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2} - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - x h - h x + 1 h^{2} - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.1.6

Умножим $h^{2}$ на $1$ .

$x^{2} - x h - h x + h^{2} - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.2

Вычтем $h x$ из $- x h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} - h x - h x + h^{2} - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.3.2.2

Вычтем $h x$ из $- h x$ .

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - (x - h) - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x - - h - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- - h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + 1 h - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $h$ на $1$ .

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + h - 4 - (x^{2} - x - 4)$

Этап 1.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + h - 4 - x^{2} - - x - - 4$

Этап 1.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.7.1

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.7.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + h - 4 - x^{2} + 1 x - - 4$

Этап 1.3.1.7.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + h - 4 - x^{2} + x - - 4$

Этап 1.3.1.7.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + h - 4 - x^{2} + x + 4$

Этап 1.3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 2 h x + h^{2} - x + h - 4 - x^{2} + x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 2 h x + h^{2} - x + h - 4 + 0 + x + 4$

Этап 1.3.2.2

Добавим $- 2 h x + h^{2} - x + h - 4$ и $0$ .

$- 2 h x + h^{2} - x + h - 4 + x + 4$

Этап 1.3.2.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$- 2 h x + h^{2} + h - 4 + 0 + 4$

Этап 1.3.2.4

Добавим $- 2 h x + h^{2} + h - 4$ и $0$ .

$- 2 h x + h^{2} + h - 4 + 4$

Этап 1.3.2.5

Добавим $- 4$ и $4$ .

$- 2 h x + h^{2} + h + 0$

Этап 1.3.2.6

Добавим $- 2 h x + h^{2} + h$ и $0$ .

$- 2 h x + h^{2} + h$

Этап 2

Заменим обозначения функций в $h$ фактическими функциями.

$h$

Этап 3

Перепишем $\frac{f (x - h) - f (x)}{h}$ .

$\frac{- 2 h x + h^{2} + h}{h}$

Этап 4

Упростим $\frac{- 2 h x + h^{2} + h}{h}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x + h^{2} + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h x$ .

$\frac{h (- 2 x) + h^{2} + h}{h}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $h$ из $h^{2}$ .

$\frac{h (- 2 x) + h \cdot h + h}{h}$

Этап 4.1.3

Возведем $h$ в степень $1$ .

$\frac{h (- 2 x) + h \cdot h + h^{1}}{h}$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $h$ из $h^{1}$ .

$\frac{h (- 2 x) + h \cdot h + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 x) + h \cdot h$ .

$\frac{h (- 2 x + h) + h \cdot 1}{h}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $h$ из $h (- 2 x + h) + h \cdot 1$ .

$\frac{h (- 2 x + h + 1)}{h}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h (- 2 x + h + 1)}{h}$

Этап 4.2.2

Разделим $- 2 x + h + 1$ на $1$ .

$- 2 x + h + 1$

Этап 4.3

Изменим порядок $- 2 x$ и $h$ .

$h - 2 x + 1$