Основы мат. анализа Примеры

$\log_{7} (\frac{\sqrt{x} \sqrt[7]{y}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{7} (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt[7]{y}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1.1.2

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $x^{\frac{7}{14}}$ .

$\log_{7} (\frac{x^{\frac{7}{14}} \sqrt[7]{y}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1.1.3

Перепишем $x^{\frac{7}{14}}$ в виде $\sqrt[14]{x^{7}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7}} \sqrt[7]{y}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{7}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7}} y^{\frac{1}{7}}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1.1.5

Перепишем $y^{\frac{1}{7}}$ в виде $y^{\frac{2}{14}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7}} y^{\frac{2}{14}}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1.1.6

Перепишем $y^{\frac{2}{14}}$ в виде $\sqrt[14]{y^{2}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7}} \sqrt[14]{y^{2}}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}}}{w^{3} \sqrt{z}})$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}}}{w^{3} \sqrt{z}}$ на $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}}}{w^{3} \sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}})$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}}}{w^{3} \sqrt{z}}$ на $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} \sqrt{z} \sqrt{z}})$

Этап 3.2

Перенесем $\sqrt{z}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} (\sqrt{z} \sqrt{z})})$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt{z}$ в степень $1$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} ({\sqrt{z}}^{1} \sqrt{z})})$

Этап 3.4

Возведем $\sqrt{z}$ в степень $1$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} ({\sqrt{z}}^{1} {\sqrt{z}}^{1})})$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} {\sqrt{z}}^{1 + 1}})$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} {\sqrt{z}}^{2}})$

Этап 3.7

Перепишем ${\sqrt{z}}^{2}$ в виде $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z}$ в виде $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} z^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} z^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} z^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} z^{1}})$

Этап 3.7.5

Упростим.

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt{z}}{w^{3} z})$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{z}$ в виде $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} z^{\frac{1}{2}}}{w^{3} z})$

Этап 4.1.2

Перепишем $z^{\frac{1}{2}}$ в виде $z^{\frac{7}{14}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} z^{\frac{7}{14}}}{w^{3} z})$

Этап 4.1.3

Перепишем $z^{\frac{7}{14}}$ в виде $\sqrt[14]{z^{7}}$ .

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2}} \sqrt[14]{z^{7}}}{w^{3} z})$

Этап 4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2} z^{7}}}{w^{3} z})$

Этап 5

Перепишем $\log_{7} (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2} z^{7}}}{w^{3} z})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt[14]{x^{7} y^{2} z^{7}}}{w^{3} z})}{\log (7)}$