Основы мат. анализа Примеры

$2 (\log_{5} (x) + 2 \log_{5} (y) - 3 \log_{5} (z))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{5} (y)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$2 (\log_{5} (x) + \log_{5} (y^{2}) - 3 \log_{5} (z))$

Этап 1.2

Упростим $- 3 \log_{5} (z)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$2 (\log_{5} (x) + \log_{5} (y^{2}) - \log_{5} (z^{3}))$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 (\log_{5} (x y^{2}) - \log_{5} (z^{3}))$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{5} (\frac{x y^{2}}{z^{3}})$

Этап 4

Упростим $2 \log_{5} (\frac{x y^{2}}{z^{3}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{5} ({(\frac{x y^{2}}{z^{3}})}^{2})$

Этап 5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{x y^{2}}{z^{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{{(x y^{2})}^{2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $x y^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(y^{2})}^{2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Этап 6

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{2 \cdot 2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{{(z^{3})}^{2}})$

Этап 7

Перемножим экспоненты в ${(z^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{3 \cdot 2}})$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})$

Этап 8

Перепишем $\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 8.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})}{\log (5)}$