Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}})$

Этап 1

Умножим $\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{4}}$ .

$\ln (\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{4}})$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{e^{4}}{\sqrt[5]{e}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{4}}$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{\sqrt[5]{e} {\sqrt[5]{e}}^{4}})$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt[5]{e}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{1} {\sqrt[5]{e}}^{4}})$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{1 + 4}})$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{\sqrt[5]{e}}^{5}})$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt[5]{e}}^{5}$ в виде $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{e}$ в виде $e^{\frac{1}{5}}$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{\frac{5}{5}}})$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{\frac{5}{5}}})$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e^{1}})$

Этап 2.5.5

Упростим.

$\ln (\frac{e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{e})$

Этап 3

Сократим общий множитель $e^{4}$ и $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $e$ из $e^{4} {\sqrt[5]{e}}^{4}$ .

$\ln (\frac{e (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})}{e})$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим на $1$ .

$\ln (\frac{e (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})}{e \cdot 1})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{e (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})}{e \cdot 1})$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4}}{1})$

Этап 3.2.4

Разделим $e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4}$ на $1$ .

$\ln (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})$

Этап 4

Перепишем $\ln (e^{3} {\sqrt[5]{e}}^{4})$ в виде $\ln (e^{3}) + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$ .

$\ln (e^{3}) + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Этап 5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3$ из степени.

$3 \ln (e) + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Этап 6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$3 \cdot 1 + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Этап 7

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$

Этап 8

Развернем $\ln ({\sqrt[5]{e}}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$3 + 4 \ln (\sqrt[5]{e})$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$3 + 4 \ln (\sqrt[5]{e})$

Десятичная форма:

$3.8$