Основы мат. анализа Примеры

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2

Перепишем ${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ в виде ${(3 x - 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x - 2}$ в виде ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.2.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Этап 1.3

Логарифм $4$ по основанию $2$ равен $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

Этап 3.2

Объединим ${(3 x - 2)}^{4}$ и $\frac{x}{4}$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

Этап 4

Изменим порядок множителей в $\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ .

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

Этап 5

Перепишем $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

Этап 5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

Этап 6

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $2 \log (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

Этап 8.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

Этап 8.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Этап 8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$