Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{23 π}{12}$ можно разделить на $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Этап 2

Используем формулу тангенса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 3.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4.3.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Этап 4.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Этап 4.5

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 5

Умножим $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ на $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Этап 6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.2

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.3

Возведем $1 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Этап 8

Перепишем ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 9

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 10.1.2

Умножим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 10.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Этап 10.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 10.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Этап 10.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Этап 10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Этап 10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Этап 10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Этап 10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Этап 10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Этап 10.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 11

Сократим общий множитель $4 - 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Этап 12

Перепишем $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ в виде $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Этап 14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Этап 15

Умножим $- - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Этап 15.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 0.26794919 \dots$