Основы мат. анализа Примеры

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (x))$

Этап 1

Используем формулу синуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Этап 2

Избавимся от скобок.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Синус и арксинус — обратные функции.

$x \cos (\arccos (x)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Этап 3.2

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$x \cdot x + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Этап 3.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Этап 3.4

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Этап 3.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Этап 3.6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Этап 3.7

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ и начале координат. Тогда $\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\arccos (x))$ равно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Этап 3.9

$x^{2} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10

Умножим $\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 3.10.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}$

Этап 3.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Этап 3.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Этап 3.11

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.11.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Этап 3.11.5

Упростим.

$x^{2} + (1 + x) (1 - x)$

Этап 3.12

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Этап 3.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Этап 3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 3.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 3.13.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Этап 3.13.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + 1 - x + x + x (- x)$

Этап 3.13.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 1 - x + x - x \cdot x$

Этап 3.13.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - (x \cdot x)$

Этап 3.13.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 1 - x + x - x^{2}$

Этап 3.13.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$x^{2} + 1 + 0 - x^{2}$

Этап 3.13.3

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} + 1 - x^{2}$

Этап 4

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$0 + 1$

Этап 4.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$