Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

Этап 1

Используем формулу косинуса разности, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 2

Избавимся от скобок.

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.5

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.9

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 3.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.11

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.12

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.12.6

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 3.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 3.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 3.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 3.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 3.13.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

Этап 3.13.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

Этап 3.14

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

Этап 3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Этап 4.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$- 1$