Основы мат. анализа Примеры

$\csc (\frac{15 π}{8})$

Этап 1

Заменим $\csc (\frac{15 π}{8})$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переведем $\frac{1}{\sin (\frac{15 π}{8})}$ в $\csc (\frac{15 π}{8})$ .

$\csc (\frac{15 π}{8})$

Этап 2.2

Точное значение $\csc (\frac{15 π}{8})$ : $- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Представим $\frac{15 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

Этап 2.2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

Этап 2.2.3

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Этап 2.2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cosecant is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Этап 2.2.5

Упростим $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Этап 2.2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Этап 2.2.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Этап 2.2.5.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Этап 2.2.5.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Этап 2.2.5.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Этап 2.2.5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Этап 2.2.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Этап 2.2.5.3.2

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.2.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Этап 2.2.5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}}$

Этап 2.2.5.3.3

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Этап 2.2.5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Этап 2.2.5.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- \frac{1}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$

Этап 2.2.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (1 \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}})$

Этап 2.2.5.5

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$ на $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$

Десятичная форма:

$- 2.61312592 \dots$