Основы мат. анализа Примеры

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x)) = - \cos (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Этап 2.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 2.2

Развернем $(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.1.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.3

Перепишем $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.1.4

Перепишем $- 1 \frac{1}{\cos (x)}$ в виде $- \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.2

Вычтем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ из $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 0 - \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.3.3

Добавим $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ и $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Этап 2.9

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Этап 2.10

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)}$

Этап 2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \cos (x)}{1}$

Этап 2.11.2.4

Разделим $- \cos (x)$ на $1$ .

$- \cos (x)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x)) = - \cos (x)$ — тождество