Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)} = \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$ на $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\sin (t) (1 - \cos (t))}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (- \cos (t))}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{\sin (t) + \sin (t) (- \cos (t))}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $\sin (t) + \sin (t) (- \cos (t))$ .

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 + \cos (t)) (1 - \cos (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 (1 - \cos (t)) + \cos (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (t)) + \cos (t) (1 - \cos (t))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1 + \cos (t) (- \cos (t))}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{1 - \cos^{2} (t)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin (t) - \sin (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin (t) - \sin (t) \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (t) \cdot 1 - \sin (t) \cos (t)}{{\sin (t)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $- \sin (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (- \cos (t))}{{\sin (t)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin (t) \cdot 1 + \sin (t) (- \cos (t))$ .

$\frac{\sin (t) (1 - \cos (t))}{{\sin (t)}^{2}}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)}$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \cos (t)}{\sin (t)} = \frac{\sin (t)}{1 + \cos (t)}$ — тождество