Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1 = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{2 + \sec^{2} (x) - 1}{\sec^{2} (x)} - 1$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{2 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sec^{2} (x)} - 1$

Этап 3.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{2 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} - 1$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}} - 1$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}} - 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1 + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}} - 1$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(1 + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1^{2}} - 1$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$(1 + \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1} - 1$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$(1 + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1} - 1$

Этап 4.2.4

Разделим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

$(1 + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) {\cos (x)}^{2} - 1$

Этап 4.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 {\cos (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 1$

Этап 4.2.6

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

${\cos (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 1$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Сократим общий множитель.

${\cos (x)}^{2} + \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2} - 1$

Этап 4.2.7.2

Перепишем это выражение.

${\cos (x)}^{2} + 1 - 1$

Этап 4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

${\cos (x)}^{2} + 0$

Этап 4.4

Добавим ${\cos (x)}^{2}$ и $0$ .

$\cos^{2} (x)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{2 + \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} - 1 = \cos^{2} (x)$ — тождество