Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.4

Умножим $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.4.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.5

Перепишем $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Переставляем члены.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.5.2

Переставляем члены.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6.5.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $- \sin (x) + 1$ и $1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)}$ — тождество