Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ на $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ на $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\sec (x)$ и $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Этап 3.3

Добавим $2 \sec (x)$ и $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 6

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

Этап 6.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 7.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 7.3

Объединим.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в виде $2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ .

$2 \sec (x) \cot^{2} (x)$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} = 2 \sec (x) \cot^{2} (x)$ — тождество