Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на $\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4

Объединим.

$\frac{1 (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 5

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.3.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 6.2.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 6.2.1.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

Этап 6.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 6.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 6.2.1.4.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Этап 6.2.1.4.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

Этап 6.2.1.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Этап 6.2.1.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x) + \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 6.4

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 6.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 7

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 8.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 8.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $1 + \sin (x)$ из ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 8.5

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 8.6

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Этап 8.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.8.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.8.3

Умножим $\sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.8.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.8.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.8.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.9

Добавим $- \sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.11.2

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.12

Сократим общий множитель $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ — тождество