Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} = \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переставляем члены.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 2.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan^{2} (x)}$

Этап 3.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим.

$\frac{1^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x)} = \csc^{2} (x)$ — тождество