Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b) = \sec (b) \csc (b)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b)$

Этап 2

Запишем $\tan (b)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\tan (b)} + \frac{\tan (b)}{1}$

Этап 3

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $\frac{\tan (b)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\tan (b)}{\tan (b)}$ .

$\frac{1}{\tan (b)} + \frac{\tan (b)}{1} \cdot \frac{\tan (b)}{\tan (b)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\tan (b)}{1}$ на $\frac{\tan (b)}{\tan (b)}$ .

$\frac{1}{\tan (b)} + \frac{\tan (b) \tan (b)}{\tan (b)}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \tan (b) \tan (b)}{\tan (b)}$

Этап 4

Умножим $\tan (b) \tan (b)$ .

$\frac{1 + \tan^{2} (b)}{\tan (b)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Переставляем члены.

$\frac{\tan^{2} (b) + 1}{\tan (b)}$

Этап 5.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$

Этап 6

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (b)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (b)})}^{2}}{\tan (b)}$

Этап 6.2

Запишем $\tan (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (b)})}^{2}}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}}$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (b)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (b)}}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1^{2}}{{\cos (b)}^{2}} \cdot \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 7.2

Объединим.

$\frac{1^{2} \cos (b)}{{\cos (b)}^{2} \sin (b)}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $\cos (b)$ и ${\cos (b)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $\cos (b)$ из $1^{2} \cos (b)$ .

$\frac{\cos (b) \cdot 1^{2}}{{\cos (b)}^{2} \sin (b)}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $\cos (b)$ из ${\cos (b)}^{2} \sin (b)$ .

$\frac{\cos (b) \cdot 1^{2}}{\cos (b) (\cos (b) \sin (b))}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (b) \cdot 1^{2}}{\cos (b) (\cos (b) \sin (b))}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{2}}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 7.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{1}{\cos (b) \sin (b)}$ в виде $\sec (b) \csc (b)$ .

$\sec (b) \csc (b)$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b) = \sec (b) \csc (b)$ — тождество