Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1 + \csc (x)}{\sec (x)} - \cot (x) = \cos (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 + \csc (x)}{\sec (x)} - \cot (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\sec (x)} - \cot (x)$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} - \cot (x)$

Этап 2.3

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(1 + \frac{1}{\sin (x)}) \cos (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.1.4

Объединим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{0}{\sin (x)}$

Этап 3.4

Разделим $0$ на $\sin (x)$ .

$\cos (x) + 0$

Этап 3.5

Добавим $\cos (x)$ и $0$ .

$\cos (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 + \csc (x)}{\sec (x)} - \cot (x) = \cos (x)$ — тождество