Основы мат. анализа Примеры

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Этап 2.3

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Добавим $\sin (x)$ и $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

Этап 3.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Этап 3.6

Добавим $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ и $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ — тождество