Основы мат. анализа Примеры

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (2 u)$ и $b = \sin (2 u)$ .

$(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Этап 2.2

Развернем $(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.3

Объединим противоположные члены в $\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (2 u) (- \sin (2 u))$ и $\sin (2 u) \cos (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) - \cos (2 u) \sin (2 u) + \cos (2 u) \sin (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.3.2

Добавим $- \cos (2 u) \sin (2 u)$ и $\cos (2 u) \sin (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + 0 + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.3.3

Добавим $\cos (2 u) \cos (2 u)$ и $0$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\cos (2 u) \cos (2 u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $\cos (2 u)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.4.1.2

Возведем $\cos (2 u)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos^{1} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (2 u)}^{1 + 1} + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Этап 2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (2 u) - \sin (2 u) \sin (2 u)$

Этап 2.4.3

Умножим $- \sin (2 u) \sin (2 u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Возведем $\sin (2 u)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin (2 u))$

Этап 2.4.3.2

Возведем $\sin (2 u)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin^{1} (2 u))$

Этап 2.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (2 u) - {\sin (2 u)}^{1 + 1}$

Этап 2.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Этап 2.5

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 (2 u))$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\cos (4 u)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$ — тождество