Основы мат. анализа Примеры

$\cos (a - b) - \cos (a + b) = 2 \sin (a) \sin (b)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos (a - b) - \cos (a + b)$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b) - \cos (a + b)$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b))$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Так как $\cos (- b)$ — четная функция, перепишем $\cos (- b)$ в виде $\cos (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.2

Так как $\sin (- b)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- b)$ в виде $- \sin (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.3

Умножим $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - (\cos (a) \cos (b)) - (- \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.5

Умножим $- (- \sin (a) \sin (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) + 1 (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.5.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\cos (a) \cos (b)$ из $\cos (a) \cos (b)$ .

$\sin (a) \sin (b) + 0 + \sin (a) \sin (b)$

Этап 4.2.2

Добавим $\sin (a) \sin (b)$ и $0$ .

$\sin (a) \sin (b) + \sin (a) \sin (b)$

Этап 4.3

Добавим $\sin (a) \sin (b)$ и $\sin (a) \sin (b)$ .

$2 \sin (a) \sin (b)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (a - b) - \cos (a + b) = 2 \sin (a) \sin (b)$ — тождество