Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sin (y) + \tan (y)}{1 + \sec (y)} = \sin (y)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (y) + \tan (y)}{1 + \sec (y)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (y)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \sec (y)}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (y)$ .

$\frac{\sin (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\sin (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{1}{\cos (y)}}$ на $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\cos (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\cos (y) (\sin (y) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (y) (1 + \frac{1}{\cos (y)})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (y) \sin (y) + \cos (y) \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (y) \cdot 1 + \cos (y) \frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (y) \sin (y) + \cos (y) \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (y) \cdot 1 + \cos (y) \frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (y) \sin (y) + \sin (y)}{\cos (y) \cdot 1 + \cos (y) \frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $\cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (y) \sin (y) + \sin (y)}{\cos (y) \cdot 1 + \cos (y) \frac{1}{\cos (y)}}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (y) \sin (y) + \sin (y)}{\cos (y) \cdot 1 + 1}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $\sin (y)$ из $\cos (y) \sin (y) + \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (y) \cos (y) + \sin (y) \cdot 1}{\cos (y) \cdot 1 + 1}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $\sin (y)$ из $\sin (y) \cos (y) + \sin (y) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (y) (\cos (y) + 1)}{\cos (y) \cdot 1 + 1}$

Этап 3.5

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$\frac{\sin (y) (\cos (y) + 1)}{\cos (y) + 1}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\cos (y) + 1$ .

$\sin (y)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (y) + \tan (y)}{1 + \sec (y)} = \sin (y)$ — тождество