Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4

Умножим $- - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.5

Изменим порядок $\sin^{2} (x)$ и $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.9

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.10

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.11

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.11.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.5.11.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $- \cos (x) + 1$ и $1 - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$ — тождество