Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sin (a + B)}{\cos (a) \cos (B)} = \tan (a) + \tan (B)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (a + B)}{\cos (a) \cos (B)}$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sin (a) \cos (B) + \cos (a) \sin (B)}{\cos (a) \cos (B)}$

Этап 3

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (B) \sin (a) + \cos (a) \sin (B)}{\cos (B) \cos (a)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\tan (a) + \tan (B)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\tan (a)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \tan (B)$

Этап 5.2

Запишем $\tan (B)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}$

Этап 6

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\cos (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{\cos (a)} \cdot \frac{\cos (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (a) \cos (B)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ на $\frac{\cos (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{\sin (a) \cos (B)}{\cos (a) \cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot \frac{\cos (a)}{\cos (a)}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ на $\frac{\cos (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \cos (B)}{\cos (a) \cos (B)} + \frac{\sin (B) \cos (a)}{\cos (B) \cos (a)}$

Этап 6.3.3

Изменим порядок множителей в $\cos (a) \cos (B)$ .

$\frac{\sin (a) \cos (B)}{\cos (B) \cos (a)} + \frac{\sin (B) \cos (a)}{\cos (B) \cos (a)}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (a) \cos (B) + \sin (B) \cos (a)}{\cos (B) \cos (a)}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (B) \sin (a) + \cos (a) \sin (B)}{\cos (B) \cos (a)}$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (a + B)}{\cos (a) \cos (B)} = \tan (a) + \tan (B)$ — тождество