Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} = \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ на $\frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{1 + \cos (a)}{1 + \cos (a)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\sin (a) (1 + \cos (a))}{(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \cos (a)}{(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))}$

Этап 4.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 - \cos (a)) (1 + \cos (a))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 (1 + \cos (a)) - \cos (a) (1 + \cos (a))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (a) - \cos (a) (1 + \cos (a))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) \cos (a)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{1 - \cos^{2} (a)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin (a) + \sin (a) \cos (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\sin (a) + \sin (a) \cos (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \cos (a)}{{\sin (a)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\sin (a) \cos (a)$ .

$\frac{\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (\cos (a))}{{\sin (a)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (\cos (a))$ .

$\frac{\sin (a) (1 + \cos (a))}{{\sin (a)}^{2}}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} = \frac{1 + \cos (a)}{\sin (a)}$ — тождество