Основы мат. анализа Примеры

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\csc^{4} (A)$ в виде ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Этап 2.2

Перепишем $\cot^{4} (A)$ в виде ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ .

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Этап 2.3

Изменим порядок $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ и ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \csc^{2} (A)$ и $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Этап 2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Выразим $\csc (A)$ через синусы и косинусы.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Этап 2.5.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Этап 2.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Этап 2.5.4

Выразим $\cot (A)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Этап 2.5.5

Применим правило умножения к $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Этап 2.7

Умножим $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\cot (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Этап 5.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (A)$ .

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ — тождество