Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)} = \cos (2 x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)}$

Этап 2.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cot (x) + \tan (x)}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x)}$

Этап 2.2.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ на $\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.3.2

Объединим.

$\frac{\sin (x) \cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в числитель.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.6.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.7

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.8

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.11

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) (\cos (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.12

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.13

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.16

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.16.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.16.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 2.5.16.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.5.17

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}$

Этап 2.5.18

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Этап 2.5.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.20

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}$

Этап 2.6

Переставляем члены.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Этап 2.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1}$

Этап 2.8

Разделим $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 2.9

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 x)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\cot (x) + \tan (x)} = \cos (2 x)$ — тождество