Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (t)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (t)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \cot (t)}$

Этап 2.3

Запишем $\cot (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$ на $\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\cos (t) \sin (t) (\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)})}{\cos (t) \sin (t) (1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos (t) \sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) (\sin (t)) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (t) + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Этап 3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \cos (t)}$

Этап 3.3.4

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} \cos (t)}$

Этап 3.3.5

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}$

Этап 3.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1 + 1}}$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos (t) \sin (t) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + {\cos (t)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $\cos (t)$ из ${\cos (t)}^{2}$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1 + \cos (t))}$

Этап 3.4.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) + \cos (t))}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $\sin (t) + \cos (t)$ .

$\frac{1}{\cos (t)}$

Этап 4

Перепишем $\frac{1}{\cos (t)}$ в виде $\sec (t)$ .

$\sec (t)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$ — тождество