Основы мат. анализа Примеры

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 2 \csc^{2} (x) - 1$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\csc^{2} (x) - 1 + \csc^{2} (x)$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1 + \csc^{2} (x)$

Этап 3.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1 + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1 + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 1 + \frac{1^{2} + 1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 + \frac{1 + 1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 + \frac{1 + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 + \frac{2}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $- 1 + \frac{2}{\sin^{2} (x)}$ в виде $2 \csc^{2} (x) - 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 1$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 2 \csc^{2} (x) - 1$ — тождество