Основы мат. анализа Примеры

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{\csc (x) + \cot (x)}$ на $\frac{\csc (x) - \cot (x)}{\csc (x) - \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)} \cdot \frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ на $\frac{\csc (x) + \cot (x)}{\csc (x) + \cot (x)}$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(\csc (x) - \cot (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) - \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))} + \frac{\csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\csc (x) - \cot (x) + \csc (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\csc (x)$ и $\csc (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) - \cot (x) + \cot (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 3.2

Добавим $- \cot (x)$ и $\cot (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) + 0}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 3.3

Добавим $2 \csc (x)$ и $0$ .

$\frac{2 \csc (x)}{(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) (\csc (x) - \cot (x))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \cot (x)) + \cot (x) \csc (x) + \cot (x) (- \cot (x))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2 \csc (x)}{\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2 \csc (x)}{1}$

Этап 6

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)}}{1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим $2 \frac{1}{\sin (x)}$ на $1$ .

$2 \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 7.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Этап 8

Перепишем $\frac{2}{\sin (x)}$ в виде $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$2 \csc (x) = \frac{1}{\csc (x) + \cot (x)} + \frac{1}{\csc (x) - \cot (x)}$ — тождество