Основы мат. анализа Примеры

$\sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1

Точное значение $\sin (\frac{7 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.7

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 1.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{12})$

Этап 2

Точное значение $\sin (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 2.2

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{2})}{8}$

Этап 5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} (- \sqrt{2})}{8}$

Этап 6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6} - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2}}{8}$

Десятичная форма:

$0.25$