Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{2} (\frac{π}{12})$

Этап 1

Точное значение $\cos (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 1.2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Этап 1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))}^{2}$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 1.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

${(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 1.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 1.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

Этап 1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2}$

Этап 1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16}$

Этап 2.3

Перепишем ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Этап 3

Развернем $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.6

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.10

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.11

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16}$

Этап 4.1.13

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{16}$

Этап 4.1.14

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{16}$

Этап 4.1.15

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{16}$

Этап 4.1.16

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{16}$

Этап 4.2

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Этап 4.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Этап 5

Сократим общий множитель $8 + 4 \sqrt{3}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Этап 5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Десятичная форма:

$0.93301270 \dots$