Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Так как $\cos (- y)$ — четная функция, перепишем $\cos (- y)$ в виде $\cos (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

Этап 4.1.2

Так как $\sin (- y)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- y)$ в виде $- \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

Этап 4.1.3

Умножим $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Этап 4.2

Развернем $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.1.2

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.2

Умножим $\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.3

Умножим $\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.3.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Этап 4.3.4

Умножим $\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

Этап 4.3.4.2

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

Этап 4.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

Этап 4.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $\sin (x) \cos (y)$ из $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $\sin (x) \cos (y)$ из $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $\sin (x) \cos (y)$ из $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $\sin (x) \cos (y)$ из $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.2

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $\cos (y)$ из $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.4

Избавимся от скобок.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.5

Умножим $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.6

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x) \sin (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 6

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 8

Умножим $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 10

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12.1.2

Возведем $\cos (y)$ в степень $1$ .

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12.2

Добавим $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ и $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Изменим порядок $\cos (y)$ и $- 1$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12.2.2

Вычтем $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ из $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 12.3

Добавим ${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ и $0$ .

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 13

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 14

Упростим каждый член.

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ и ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

Этап 15.2

Добавим $\cos (x) \sin (x)$ и $0$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

Этап 16

Перепишем $\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ в виде $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Этап 17

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ — тождество