Основы мат. анализа Примеры

$6 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1

Точное значение $\sin (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$6 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.2

Применим формулу для разности углов.

$6 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$6 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Этап 1.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 2.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 3

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Этап 4

Точное значение $\cos (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 4.2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 4.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 4.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 4.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Этап 5

Умножим $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 \sqrt{6} + 3 (- \sqrt{2})) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Этап 6.3

Развернем $(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Этап 6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Этап 6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $3 \sqrt{6} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.1.2

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 6^{1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \cdot 6 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.3

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.4

Умножим $3 \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{18 + 3 \sqrt{2 \cdot 6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.4.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.5

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{18 + 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.8

Умножим $- 3 \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6 \cdot 2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.8.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.9

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.9.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.9.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.11

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Этап 6.4.1.12

Умножим $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.12.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Этап 6.4.1.12.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Этап 6.4.1.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Этап 6.4.1.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 6.4.1.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Этап 6.4.1.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Этап 6.4.1.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 6.4.1.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.13.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 6.4.1.13.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{1}}{8}$

Этап 6.4.1.13.5

Найдем экспоненту.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2}{8}$

Этап 6.4.1.14

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6}{8}$

Этап 6.4.2

Вычтем $6$ из $18$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{8}$

Этап 6.4.3

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 0}{8}$

Этап 6.4.4

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{12}{8}$

Этап 7

Сократим общий множитель $12$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 (3)}{8}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{2}$