Основы мат. анализа Примеры

$\tan^{2} (75)$

Этап 1

Точное значение $\tan (75)$ : $2 + \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $75$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\tan^{2} (30 + 45)$

Этап 1.2

Применим формулу для суммы углов.

${(\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Этап 1.3

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Этап 1.4

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Этап 1.5

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)})}^{2}$

Этап 1.6

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

Этап 1.7

Упростим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

Этап 1.7.1.2

Объединим.

${(\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Этап 1.7.3.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Этап 1.7.4

Умножим $3$ на $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Этап 1.7.5.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.7.5.3.2

Сократим общий множитель.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Этап 1.7.5.3.3

Перепишем это выражение.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

Этап 1.7.6

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Этап 1.7.7

Умножим $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ на $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}^{2}$

Этап 1.7.8

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Этап 1.7.9

Упростим.

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.10.1

Изменим порядок членов.

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.10.2

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.10.3

Возведем $3 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.11

Перепишем ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.12

Развернем $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.13.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.2

Добавим $9$ и $3$ .

${(\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.13.3

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

${(\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.14

Сократим общий множитель $12 + 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Этап 1.7.14.2

Вынесем множитель $6$ из $6 \sqrt{3}$ .

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.14.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Этап 1.7.14.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Этап 1.7.14.4.2

Сократим общий множитель.

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Этап 1.7.14.4.3

Перепишем это выражение.

${(\frac{2 + \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Этап 1.7.14.4.4

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

${(2 + \sqrt{3})}^{2}$

Этап 2

Перепишем ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ .

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$

Этап 3

Развернем $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Этап 4.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Этап 4.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Этап 4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $3$ .

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Этап 4.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$7 + 4 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$13.92820323 \dots$