Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 20 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 20$

$c = - 24$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $20$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{10}{4}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$d = \frac{2 (5)}{4}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{2}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$e = - 24 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = - 24 - \frac{400}{16}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим $400$ на $16$ .

$e = - 24 - 1 \cdot 25$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$e = - 24 - 25$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $25$ из $- 24$ .

$e = - 49$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$ .

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 4$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - 49$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{1}{16}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{785}{16}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, - 49)$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = - \frac{785}{16}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, - 49)$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = - \frac{785}{16}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 20 (- 3) - 24$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 20 (- 3) - 24$

Этап 2.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$f (- 3) = 36 + 20 (- 3) - 24$

Этап 2.2.1.3

Умножим $20$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 36 - 60 - 24$

Этап 2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $60$ из $36$ .

$f (- 3) = - 24 - 24$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 24$ .

$f (- 3) = - 48$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 48$ .

$- 48$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $- 48$ .

$y = - 48$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) - 24$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 20 (- 4) - 24$

Этап 2.5.1.2

Умножим $4$ на $16$ .

$f (- 4) = 64 + 20 (- 4) - 24$

Этап 2.5.1.3

Умножим $20$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 64 - 80 - 24$

Этап 2.5.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $80$ из $64$ .

$f (- 4) = - 16 - 24$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $24$ из $- 16$ .

$f (- 4) = - 40$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 40$ .

$- 40$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $- 40$ .

$y = - 40$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) - 24$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 20 (- 1) - 24$

Этап 2.8.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$f (- 1) = 4 + 20 (- 1) - 24$

Этап 2.8.1.3

Умножим $20$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 20 - 24$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $20$ из $4$ .

$f (- 1) = - 16 - 24$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $24$ из $- 16$ .

$f (- 1) = - 40$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 40$ .

$- 40$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 40$ .

$y = - 40$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 20 (0) - 24$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 + 20 (0) - 24$

Этап 2.11.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 20 (0) - 24$

Этап 2.11.1.3

Умножим $20$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 24$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $24$ из $0$ .

$f (0) = - 24$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 24$ .

$- 24$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- 24$ .

$y = - 24$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- \frac{5}{2}, - 49)$

Фокус: $(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Ось симметрии: $x = - \frac{5}{2}$

Директриса: $y = - \frac{785}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Этап 4