Основы мат. анализа Примеры

$\cos (\frac{x}{2}) + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.2

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.3

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{3 x}{2})$

Этап 1.6

Вынесем множитель $3$ из $\frac{3 x}{2}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \cos (3 \frac{x}{2})$

Этап 1.7

Используем формулу тройного угла для преобразования $\cos (3 x)$ в $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 \cos^{3} (\frac{x}{2}) - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.2

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.3

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1.8.6

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})$

Этап 1.8.7

Перепишем $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})$

Этап 1.8.8

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 1.8.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.9.1

Умножим $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Этап 1.8.9.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Этап 1.8.9.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Этап 1.8.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Этап 1.8.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Этап 1.8.9.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 1.8.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 1.8.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 1.8.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Этап 1.8.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})$

Этап 1.8.9.6.5

Найдем экспоненту.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})$

Этап 1.8.10

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + 4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 3 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Этап 2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $3 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ из $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ .

$4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в $4 {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$4 {(\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})}^{3} - 2 (\pm \frac{\sqrt{2 (1 + \cos (x))}}{2})$