Основы мат. анализа Примеры

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ на $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ на $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(a + b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.2

Объединим противоположные члены в $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Изменим порядок множителей в членах $a (- b)$ и $b a$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.2.2

Добавим $- a b$ и $a b$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.2.3

Добавим $a \cdot a$ и $0$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $a$ на $a$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.3.3

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $b$ на $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.5

Умножим $a$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.8

Умножим $b$ на $b^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Перенесем $b^{2}$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.8.2

Умножим $b^{2}$ на $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 6.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Этап 7

Умножим $a + b i$ на $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ .

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$