Основы мат. анализа Примеры

$\sin (195) \cdot \cos (45)$

Этап 1

Точное значение $\sin (195)$ : $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- \sin (15) \cdot \cos (45)$

Этап 1.2

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$- \sin (45 - 30) \cdot \cos (45)$

Этап 1.3

Выделим отрицательную часть.

$- \sin (45 - (30)) \cdot \cos (45)$

Этап 1.4

Применим формулу для разности углов.

$- (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Этап 1.5

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Этап 1.6

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Этап 1.7

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cdot \cos (45)$

Этап 1.8

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9

Упростим $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \cos (45)$

Этап 1.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \cos (45)$

Этап 2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Умножим $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$- \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Этап 5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8}$

Этап 6

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Этап 6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Этап 6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 6} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $6$ .

$- \frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 7.2

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 7.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 7.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Этап 7.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Этап 7.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Этап 7.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 7.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 7.4.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8}$

Этап 7.4.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8}$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

Этап 8

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3} - 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

Этап 8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

Этап 8.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

Этап 8.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.18301270 \dots$