Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 8}{5 x - 1} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 8 = 0$

$5 x - 1 = 0$

Этап 2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 4

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 8$

$x = \frac{1}{5}$

Этап 6

Объединим решения.

$x = - 8, \frac{1}{5}$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{x + 8}{5 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 8}{5 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 x - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < \frac{1}{5}$

$x > \frac{1}{5}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 10) + 8}{5 (- 10) - 1} > 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $0.03921568$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 8}{5 (0) - 1} > 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 8$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(3) + 8}{5 (3) - 1} > 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $0.7\overline{857142}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < \frac{1}{5}$ Ложь

$x > \frac{1}{5}$ Истина

$x < - 8$ Истина

$- 8 < x < \frac{1}{5}$ Ложь

$x > \frac{1}{5}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 8$ или $x > \frac{1}{5}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 8 or x > \frac{1}{5}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 8) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Этап 12