Основы мат. анализа Примеры

$| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$

Этап 1

Запишем $| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\frac{1}{2} x - 1 \geq 0$

Этап 1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 \geq 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$\frac{x}{2} \geq 1$

Этап 1.2.3

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Этап 1.2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \geq 1 \cdot 2$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x \geq 2$

Этап 1.3

В части, где $\frac{1}{2} x - 1$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\frac{1}{2} x - 1 < 0$

Этап 1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 < 0$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$\frac{x}{2} < 1$

Этап 1.5.3

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Этап 1.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Этап 1.5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x < 1 \cdot 2$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$x < 2$

Этап 1.6

В части, где $\frac{1}{2} x - 1$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} - 1 + \frac{x + 3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.3

Добавим $x$ и $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{4 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 (1)} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.4.2.2

Сократим общий множитель.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.4.2.3

Перепишем это выражение.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 x}{1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.8.4.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{x}{2} - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} - - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.1.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{- x + 3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.3

Добавим $- x$ и $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Сократим общий множитель.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 1.9.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Этап 2

Решим $- 1 + 2 x < 10$ , когда $x \geq 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $- 1 + 2 x < 10$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 x < 10 + 1$

Этап 2.1.1.2

Добавим $10$ и $1$ .

$2 x < 11$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $2 x < 11$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $2 x < 11$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < \frac{11}{2}$ и $x \geq 2$ .

$2 \leq x < \frac{11}{2}$

Этап 3

Решим $1 + x < 10$ , когда $x < 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$x < 10 - 1$

Этап 3.1.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$x < 9$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x < 9$ и $x < 2$ .

$x < 2$

Этап 4

Найдем объединение решений.

$x < \frac{11}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{11}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{11}{2})$

Этап 6