Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 2$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Этап 6

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 0, - 1$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (x + 1) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 9.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 9.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

Этап 11.1.3

Левая часть $2.08\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 2$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

Этап 11.3.3

Левая часть $2.1\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $x > 0$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 1 or x > 0$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Этап 14