Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Этап 1

Вычтем $\frac{13}{4 - x^{2}}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{2}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.3

Чтобы записать $\frac{x}{2 - x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) (2 - x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{2}{x + 2}$ на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{x}{2 - x}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.7

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.6.8

Добавим $4 + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Этап 2.7

Изменим порядок членов.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Этап 2.8

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вычтем $13$ из $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Этап 2.10.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Этап 2.10.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 7

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 8

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Этап 10

Объединим решения.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 11.2.2

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 11.2.2.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 11.2.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 11.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 11.2.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 11.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 11.2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 11.2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 11.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 - x) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 2, - 2$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Этап 13.1.3

Левая часть $- 1.25$ меньше правой части $- 0.40625$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2.5$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $- 2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Этап 13.2.3

Левая часть $- 4.\overline{5}$ не меньше правой части $- 5.\overline{7}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Этап 13.3.3

Левая часть $1$ меньше правой части $3.25$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Этап 13.4.3

Левая часть $- 4.\overline{5}$ не меньше правой части $- 5.\overline{7}$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.5

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 13.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Этап 13.5.3

Левая часть $- 1.25$ меньше правой части $- 0.40625$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 2$ Истина

$2 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $- 2 < x < 2$ или $x > 3$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Этап 16